Question

5．已知命題p：函數f（x）=lg（ax²-4x+a）的定義域為R；命題q：不等式2x²+x＞2+ax，對?x∈（-∞，-1）上恒成立．
（1）若命題p為真命題，求實數a的取值范圍；
（2）若“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若命題p為真命題，則△＜0且a＞0，解得實數a的取值范圍；
（2）若“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，則p，q一真一假，進而可得實數a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意：當a=0時，f（x）=lg（-4x）的定義域不為R，不合題意．
當a≠0時，△＜0且a＞0，故a＞2．
（2）若q為真，則$a＞2x-\frac{2}{x}+1$，對?x∈（-∞，-1）上恒成立，
$y=2x-\frac{2}{x}+1$為增函數且x∈（-∞，-1），
故a≥1．
“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，
等價于p，q一真一假，
若p真q假，則不存在滿足條件 a值；
若p假q真，則1≤a≤2，
故1≤a≤2．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了對數函數的圖象和性質，不等式恒成立，復合命題，難度中檔．