Question

已知函數f（x）=2^x+a•2^-|x|（a∈R）滿足．若存在x∈[1，2]使得不等式2^xf（2x）+mf（x）≥0成立，則實數m的取值范圍是（ ）
A．[-5，+∞）
B．[-，+∞）
C．（-∞，-17]
D．（-∞，-15]

Answer 1

【答案】分析：先由解出a=1得 f（x）=2^x+2^-|x|，代入不等式2^xf（2x）+mf（x）≥0，由于存在x∈[1，2]使不等式成立，故整理得-m≤，讓-m小于等于在∈[1，2]上的最大值即可解出實數m的取值范圍．
解答：解：由題設函數f（x）=2^x+a•2^-|x|（a∈R）滿足．
得+a×=2    ①
∵＞0
∴①式可變為+a×=+a（）=2
故有1+a+（1-a）=2，a（1-）=1-，解得a=1
所以   f（x）=2^x+2^-|x|
當存在x∈[1，2]時，使不等式2^xf（2x）+mf（x）≥0恒成立，即2^3x+2^-x+m（2^x+2^-x）≥0成立，
即2^4x+1+m（2^2x+1）≥0成立，即-m≤=2^2x+1-2+≤
故m≥-
故應選B．
點評：本題考點是指數函數的綜合題，考查復雜指數式的恒等變形與復雜指數方程的變形，運算量較大，由于本題最后解決的是存在性的問題，要區分開其與恒成立問題的區別．