Question

（本小題滿分12分）

已知函數為自然對數的底數）．

(Ⅰ)求F(x)=f(x)g(x)的單調區間，若F(x)有最值，請求出最值；

(Ⅱ)是否存在正常數，使f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點，且在該公共點處有共同的切線？若存在，求出的值，以及公共點坐標和公切線方程；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)所以當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為，最小值為，無最大值 ；

(Ⅱ)存在，使的圖象有且只有一個公共點，且在該公共點處有共同的切線，易求得公共點坐標為，公切線方程為。

【解析】（1）求F（x）=f（x）-g（x）的單調區間，及函數F（x）的最值，考慮到先列出函數的表達式，再根據表達式求出導函數F′（x），根據導函數在區間的正負性判斷函數的單調區間，再使導函數等于0求出函數的極值，即可得到答案．

（2）若f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點，則方程有且只有一解，所以函數F(x)有且只有一個零點,由(Ⅰ)的結論可知.當a=1時，求f（x）與g（x）的一個公共點，并求它們在該公共點處的切線方程，故根據（1）可判斷方程F（x）=f（x）-g（x）有最小值0，故此點即為f（x）與g（x）的一個公共點．再根據導函數求出公共點處切線．即可根據直線方程的求法求出切線方程．

(Ⅰ)…………  1分

①當0時，恒成立，F(x)在(0,+)上是增函數，F(x)只有一個單調遞增區間(0,+)，沒有最值．…………2分

②當時，，

若，則上單調遞減；

若，則上單調遞增，

∴當時，有極小值，也是最小值，

即 ………… 5分

所以當時，的單調遞減區間為

單調遞增區間為，最小值為，無最大值 ………… 6分

(Ⅱ)方法一，若f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點，

則方程有且只有一解，所以函數F(x)有且只有一個零點  …… 7分

由(Ⅰ)的結論可知 …………  8分

此時，，

∴∴f(x)與g(x)的圖象的唯一公共點坐標為

又，∴f(x)與g(x)的圖象在點處有共同的切線，

其方程為，即 …………  12分

綜上所述，存在，使的圖象有且只有一個公共點，且在該點處的公切線方程為 …………  14分

方法二：設圖象的公共點坐標為，

①   ②

根據題意得，即

由②得，代入①得，從而 ………… 8分

此時由（1）可知，∴時，

因此除外，再沒有其它，使 ………… 11分

故存在，使的圖象有且只有一個公共點，且在該公共點處有共同的切線，易求得公共點坐標為，公切線方程為 ………… 12分