Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx-cos2x，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長分別是a、b、c，若f（A）=2，C=

π

4

，c=2，求△ABC的面積S_△ABC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）由二倍角公式化簡(jiǎn)可得f（x）=2sin（2x-

π

6

），令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由f（A）=2sin（2A-

π

6

）=2，可得A的值，由正弦定理可解得a=

6

，從而可求S_△ABC的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2

3

sinxcosx-cos2x=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），
∴令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
即有函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z，
（2）∵f（A）=2sin（2A-

π

6

）=2，
∴2A-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即有A=kπ+

π

3

，k∈Z，
∵角A為△ABC中的內(nèi)角，有0＜A＜π，
∴k=0時(shí)，A=

π

3

，B=π-A-C=

5π

12

，
故由正弦定理可得：

2

2 2

=

a

3 2

，解得a=

6

，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

6

sin

5π

12

=

3+ 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．