Question

設a為常數，a∈R，函數f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R．
（1）若函數f（x）是偶函數，求實數a的值；
（2）求函數f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據偶函數的定義，采用比較系數法，可得（x+a）²=（x-a）²對任意的x∈R成立，故可得a=0．
（2）分x≤a與x＞a兩種情況討論，結合二次函數的圖象與性質加以分析，可得當-

1

2

＜a≤

1

2

時，函數在x=a處取得最小值，而當a≤-

1

2

時，函數在x=-

1

2

處取得最小值；當a＞

1

2

時，函數在x=

1

2

處取得最小值．由此即可得到本題的答案．

解答：解：（1）∵函數f（x）為偶函數，∴對任意的x∈R都有f（-x）=f（x），
即（-x）²+|-x-a|+1=x²+|x-a|+1，對任意的x∈R都有|x+a|=|x-a|，
也就是（x+a）²=（x-a）²對任意的x∈R成立，故4ax=0恒成立，可得a=0．
（2）①當x≤a時，f(x)=x2-x+(1+a)=(x-

1

2

)2+(

3

4

+a)．
若a≤

1

2

，則函數f（x）在（-∞，a]上單調遞減．
所以函數f（x）在（-∞，a]上的最小值為f（a）=a²+1．
若a＞

1

2

，則函數f（x）在(-∞，

1

2

]上單調遞減，在(

1

2

，a]上單調遞增．
所以函數f（x）在（-∞，a]上的最小值為f(

1

2

)=

3

4

+a．
②當x＞a時，f(x)=x2+x+(1-a)=(x+

1

2

)2+(

3

4

-a)．
若a≤-

1

2

，則函數f（x）在[a，-

1

2

]上單調遞減，在(-

1

2

，+∞)單調遞增．
所以函數f（x）在[a，+∞）上的最小值為f(-

1

2

)=

3

4

-a．
若a＞-

1

2

，則函數f（x）在[a，+∞）單調遞增．
所以函數f（x）在[a，+∞）上的最小值為f（a）=a²+1．
綜上所述，可得
當a≤-

1

2

時，函數f（x）的最小值是

3

4

-a；當-

1

2

＜a≤

1

2

時，函數f（x）的最小值是a²+1；
當a＞

1

2

時，函數f（x）的最小值是

3

4

+a．

點評：本小題主要考查偶函數的概念，考查二次函數的單調性、最值等基礎知識以及運算求解能力、分類討論思想等知識，屬于中檔題．