Question

已知數列{a_n}滿足a₁=a（a為常數，a∈R），a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^*），設b_n=

an

2n

（n∈N^*）．
（1）求數列{b_n}所滿足的遞推公式；
（2）求常數c、q使得b_n+1-c=q（b_n-c）對一切n∈N^*恒成立；
（3）求數列{a_n}通項公式，并討論：是否存在常數a，使得數列{a_n}為遞增數列？若存在，求出所有這樣的常數a；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知

an+1

2n+1

=

1

2

-

3

2

•

an

2n

，又bn=

an

2n

，∴bn+1=

1

2

-

3

2

bn．由此可知數列b_n的遞推公式．
（2）由題意知b_n+1=qb_n+c-qc，又由（1）可知，bn+1=

1

2

-

3

2

bn，由此可知bn+1-

1

5

= -

3

2

(bn-

1

5

)  ，(n∈N*)
（3）由（2）知，數列{bn-

1

5

}是首項為b1-

1

5

公比為-

3

2

的等比數列，由此可知an=2nbn=2n[

1

5

+(

a

2

-

1

5

)(-

3

2

)n-1] ，(n∈N*)為所求的通項公式．由此可求出所有這樣的常數a．

解答：解：（1）∵a₁=a（a為常數，a∈R），a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^*），
∴

an+1

2n+1

=

1

2

-

3

2

•

an

2n

，又bn=

an

2n

，∴bn+1=

1

2

-

3

2

bn．
數列b_n的遞推公式是

b1= a 2 bn+1= 1 2 - 3 2 •b1，(n∈N*)

．
（2）∵b_n+1-c=q（b_n-c）（n∈N^*）
∴b_n+1=qb_n+c-qc
又由（1）可知，bn+1=

1

2

-

3

2

bn
∴

q=- 3 2 c-qc= 1 2

，∴q=-

3

2

，c=

1

5

，
∴bn+1-

1

5

= -

3

2

(bn-

1

5

)  ，(n∈N*)
（3）由（2）知，數列{bn-

1

5

}是首項為b1-

1

5

公比為-

3

2

的等比數列．
∴bn-

1

5

=(b1-

1

5

)  (-

3

2

)n-1，(n∈N*)
∴an=2nbn=2n[

1

5

+(

a

2

-

1

5

)(-

3

2

)n-1] ，(n∈N*)為所求的通項公式．
考察數列a_n，∵an=2•3n-1[

1

5

(

2

3

)n+(

a

2

-

1

5

)(-1)n-1]
1^O．當a=

2

5

時，an=

1

5

•2n，
此時數列a_n是遞增數列．
2^O．當a≠

2

5

時，
(

a

2

-

1

5

)  (-1)n-1是正負相間出現，其絕對值是正常數|

a

2

-

1

5

|，
而

lim

n→∞

1

5

• (

2

3

)n-1=0．
故當n充分大時，an=2•3n-1[

1

5

(

2

3

)n+(

a

2

-

1

5

)(-1)n-1]的值的符號
與(

a

2

-

1

5

)(-1)n-1的值的符號相同，即數列的項的值是正負相間出現的，
故數列a_n不可能是單調數列．
綜上所述，當且僅當a∈{

2

5

}時，數列a_n是遞增數列．

點評：本題考查數列的性質及其應用，解題時要認真審題，仔細解答．