Question

F₁、F₂為某橢圓的兩個焦點，過F₂的直線交橢圓于P、Q兩點，若PF₁⊥PQ，且|PF₁|=|PQ|，則橢圓的離心率e=    ．

Answer 1

【答案】分析：設|PF₁|=t，則|PQ|=t，|F₁Q|=t，根據橢圓定義可知|PF₁|+|PF₂|=|QF₁|+|QF₂|=2a，進而得|PF₁|+|PQ|+|F₁Q|=4a，求得|PF₂|關于t的表達式，進而利用韋達定理可知[（4-2）a]²+[（2-2）a]²=（2c）²求得a和c的關系．
解答：解：設|PF₁|=t，則|PQ|=t，|F₁Q|=t，由橢圓定義有：|PF₁|+|PF₂|=|QF₁|+|QF₂|=2a
∴|PF₁|+|PQ|+|F₁Q|=4a，
化簡得（+2）t=4a，t=（4-2）a
∴|PF₂|=2a-t=（2-2）a
在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|²=（2c）²
∴[（4-2）a]²+[（2-2）a]²=（2c）²
∴（）²=9-6
∴e=-
故答案為-．
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，考查了學生對橢圓定義的理解和運用．