Question

已知某橢圓的焦點是F₁（-4，0）、F₂（4，0），過點F₂并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F₁B|+|F₂B|=10，橢圓上不同的兩點A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）滿足條件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數列．
（Ⅰ）求該橢圓的方程；
（Ⅱ）求弦AC中點的橫坐標．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓定義結合已知條件，得|F₁B|+|F₂B|=10=2a可得a=5．由c=4算出b=3，即可得出該橢圓的方程；
（2）由點B（4，y_B）在橢圓上，利用橢圓方程算出y_B=

9

5

．再根據圓錐曲線統一定義，算出|F₂A|、|F₂C|關于它們的橫坐標x₁、x₂的式子，由|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數列建立關系式算出x₁+x₂=8，最后利用中點坐標公式，即可算出弦AC中點的橫坐標．

解答：解：（1）由橢圓定義及條件，可得
2a=|F₁B|+|F₂B|=10，得a=5．
又∵c=4，∴b=

a2-b2

=3．
因此可得該橢圓方程為

x2

25

+

y2

9

=1．
（2）∵點B（4，y_B）在橢圓上，
∴將x=4，代入橢圓方程求得y_B=

9

5

，可得|F₂B|=|y_B|=

9

5

．
∵橢圓右準線方程為x=

a2

c

，即x=

25

4

，離心率e=

c

a

=

4

5

．
根據圓錐曲線統一定義，得
|F₂A|=

4

5

（

25

4

-x₁），|F₂C|=

4

5

（

25

4

-x₂）．
由|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數列，得2|F₂B|=|F₂A|+|F₂C|
即

4

5

（

25

4

-x₁）+

4

5

（

25

4

-x₂）=2×

9

5

，由此解得x₁+x₂=8．
設弦AC的中點為P（x₀，y₀），
可得中點橫坐標為則x₀=

1

2

（x₁+x₂）=4．

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的方程并依此求AC的中點橫坐標，著重考查了橢圓的定義與標準方程、圓錐曲線的統一定義和等差數列的性質等知識，屬于中檔題．