Question

已知向量

a

=(sinθ，2cosθ)，(θ∈R)．
（1）若

b

=(1，-1)，且

a

⊥

b

，求tanθ的值；
（2）若

c

=(cosθ，2sinθ)，求|

a

+

c

|的最大值．

Answer 1

分析：（1）直接由向量垂直的坐標運算列出含有sinθ和cosθ的等式，由該等式可求tanθ的值；
（2）利用向量加法的坐標運算求出

a

+

c

的坐標，代入模的公式后利用三角函數的有界性求最大值．

解答：解：（1）由向量

a

=(sinθ，2cosθ)，

b

=(1，-1)，且

a

⊥

b

，
得sinθ-2cosθ=0，所以tanθ=2；
（2）又

c

=(cosθ，2sinθ)，所以

a

+

c

=(sinθ+cosθ，2cosθ+2sinθ)
|

a

+

c

|=

(sinθ+cosθ)2+4(sinθ+cosθ)2

=

5(sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ)

=

5+5sin2θ

≤

10

．
所以|

a

+

c

|的最大值為

10

．

點評：本題考查了數量積判斷兩個向量的垂直關系，考查了平面向量模的求法，訓練了三角函數的有界性，是基礎題．