Question

（15分）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-1, 0）、B（1, 0）, 動點C滿足條件：△ABC的周長為2＋2．記動點C的軌跡為曲線W．

       （Ⅰ）求W的方程；

       （Ⅱ）經過點（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個不同的交點P和Q，

求k的取值范圍；

       （Ⅲ）已知點M（，0），N（0, 1），在（Ⅱ）的條件下，是否存在常數k，使得向量 與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解（Ⅰ） 設C（x, y）,

∵ , ,

∴ ,

∴ 由定義知，動點C的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為2的橢圓除去與x軸的兩個交點．

∴ ． ∴ ．

∴ W:   ．…………………………………………… 5分

（Ⅱ） 設直線l的方程為，代入橢圓方程，得．

整理，得．        ①………………………… 7分

因為直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于

，解得或．

∴ 滿足條件的k的取值范圍為 ………… 10分

（Ⅲ）設P（x₁,y₁）,Q（x₂,y₂）,則＝（x₁+x₂，y₁+y₂）,

由①得．                ②

又                ③

因為，， 所以．……………………… 12分

所以與共線等價于．

將②③代入上式，解得．

所以不存在常數k，使得向量與共線．……………………15分