Question

（本小題滿分13分）設圓C滿足：（1）截軸所得弦長為2；（2）被軸分成兩段圓弧，其弧長的比為5∶1．在滿足條件（1）．（2）的所有圓中，求圓心到直線：3－4=0的距離最小的圓的方程．

 

Answer 1

【答案】

（x－）2＋（y－）2＝4或（x＋）2＋（y＋2＝4

【解析】解：設所求圓的圓心為P（，），半徑為，則P到軸． 軸的距離分別為||．||．

由題設圓P截x軸所得劣弧所對圓心角為60°……2分，圓P截軸所得弦長為，故  32＝42，

又圓P截軸所得弦長為2，所以有r2＝2＋1，…………5分

從而有42－32＝3

又點P（，）到直線3－4=0距離為＝，…………7分

所以252＝|3－4|2＝92＋162－24≥92＋162－12（2＋2）…10分

＝4b2－32＝3

當且僅當=時上式等號成立，此時252＝3，從而取得最小值，

由此有  ，解方程得或 ………12分

由于32＝42，知＝2，于是所求圓的方程為

（x－）2＋（y－）2＝4或（x＋）2＋（y＋2＝4………．13分