Question

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知c=1，C=

π

3

．
（1）若cos（θ+C）=

3

5

，0＜θ＜π，求cosθ；
（2）若sinC+sin（A-B）=3sin2B，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據題意，得出sin（θ+C）=sin（θ+

π

3

）=

4

5

．結合配角θ=（θ+

π

3

）-

π

3

利用兩角差的余弦公式，即可算出的值．
（2）利用sinC=sin（A+B），結合兩角和與差的正弦公式化簡整理，得cosB（sinA-3sinB）=0，從而cosB=0或sinA=3sinB．再分cosB=0和a=3b兩種情況加以討論，即可分別求出兩種情況下△ABC的面積S．

解答：解：（1）∵0＜θ＜π，C=

π

3

，cos（θ+C）=

3

5

，
∴可得θ+C=θ+

π

3

是銳角，sin（θ+C）=sin（θ+

π

3

）=

4

5

∴cosθ=cos[（θ+

π

3

）-

π

3

]=

3

5

×

1

2

+

4

5

×

3

2

=

4 3 +3

10

即cosθ=

4 3 +3

10

…（6分）
（2）∵A+B=π-C，可得sinC=sin（A+B）
∴由sinC+sin（A-B）=3sin2B，得sin（A+B）+sin（A-B）=3sin2B，
即2sinAcosB=6sinBcosB，可得cosB（sinA-3sinB）=0
∴cosB=0或sinA=3sinB
①cosB=0，得B=

π

2

，結合C=

π

3

得A=

π

6

∴a=

3

3

，b=

2 3

3

△ABC的面積S=

1

2

absinC

3

6

…..（4分）
②若sinA=3sinB，則a=3b，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，得1=10b²-6b²cos

π

3

即7b²=1，解之得b=

7

7

，從而a=

3 7

7

△ABC的面積S=

1

2

absinC=

3 3

28

…（4分）

點評：本題給出三角形的一邊和其對角，在已知等式的情況下求三角形的面積．著重考查了和與差的三角函數公式、正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．