Question

某蛋糕廠生產某種蛋糕的成本為40元/個，出廠價為60元/個，日銷售量為1000個，為適應市場需求，計劃提高蛋糕檔次，適度增加成本．若每個蛋糕成本增加的百分率為x （0＜x＜1），則每個蛋糕的出廠價相應提高的百分率為0.5x，同時預計日銷售量增加的百分率為0.8x，已知日利潤=（出廠價-成本）×日銷售量，且設增加成本后的日利潤為y．
（Ⅰ）寫出y與x的關系式；
（Ⅱ）為使日利潤有所增加，問x應在什么范圍內？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，根據日利潤=（出廠價-成本）×日銷售量，可求增加成本后的日利潤函數；
（Ⅱ）要保證日利潤有所增加，當且僅當

y-(60-40)×1000＞0 0＜x＜1.

，解不等式，即得保證日利潤有所增加，投入成本增加的比例x．

解答：解：（Ⅰ）由題意，∵日利潤=（出廠價-成本）×日銷售量
∴增加成本后的日利潤y=[60×（1+0.5x）-40×（1+x）]×1000×（1+0.8x）（0＜x＜1），
整理得 y=2000（-4x²+3x+10）（0＜x＜1）．------------------------------（5分）
（Ⅱ）要保證日利潤有所增加，當且僅當

y-(60-40)×1000＞0 0＜x＜1.

----------------------------（7分）
即 

-4x2+3x＞0 0＜x＜1.

-------------------------------------（9分）
解不等式得 0＜x＜

3

4

．
答：為保證日利潤有所增加，投入成本增加的比例x應滿足0＜x＜

3

4

．

點評：本題重點考查函數模型的構建與解不等式，解題的關鍵是理解題意，運用日利潤=（出廠價-成本）×日銷售量
，建立函數關系．