Question

圓經過點A（2，-3）和B（-2，-5）．
（1）若圓的面積最小，求圓的方程；
（2）若圓心在直線x-2y-3=0上，求圓的方程．

Answer 1

分析：（1）要使圓的面積最小，則AB為圓的直徑，即求以AB為直徑的圓．
（2）解法1，求出AB中垂線方程，與x-2y-3=0聯立，求出圓心，再求出半徑后即可得出圓的方程．
解法2，利用待定系數法，設為（x-a）²+（y-b）²=r²，求解．

解答：解：（1）要使圓的面積最小，則AB為圓的直徑，所以所求圓的圓心為（0，-4），半徑長

1

2

|AB|=

5

圓的方程為x²+（y+4）²=5
（2）解法1：因為k_AB=12，AB中點為（0，-4），所以AB中垂線方程為y+4=-2x，即2x+y+4=0，解方程組

2x+y+4=0 x-2y-3=0

得

x=-1 y=-2.

所以圓心為（-1，-2）．根據兩點間的距離公式，得半徑r=

10

，因此，所求的圓的方程為（x+1）²+（y+2）²=10
解法2：所求圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
根據已知條件得

(2-a)2+(-3-b)2=r2 (-2-a)2+(-5-b)2=r2 a-2b-3=0

⇒

a=-1 b=-2 r2=10.

所以所求圓的方程為（x+1）²+（y+2）²=10．

點評：本題考查圓的方程求解，可以常用的方法有：定義法（即分別求出圓心、半徑），待定系數法．若能充分利用圓的幾何性質，可有效的減少計算量．問題（2）的兩種解法能體現出這一點．