Question

已知坐標(biāo)平面內(nèi)：，：.動點P與外切與內(nèi)切.
（1）求動圓心P的軌跡的方程;
（2）若過D點的斜率為2的直線與曲線交于兩點A、B,求AB的長;
（3）過D的動直線與曲線交于A、B兩點，線段中點為M，求M的軌跡方程.

Answer 1

（1）；（2）；（3）

解析試題分析：（1）由圓的內(nèi)切與外切的圓心距與圓的半徑的關(guān)系，根據(jù)橢圓的定義可求出橢圓的方程.
（2）由過點D的直線及斜率可寫出該直線方程.再聯(lián)立橢圓方程即可得通過弦長公式即可求得AB弦的長度.
（3）有點差法可得到一個關(guān)于中點坐標(biāo)和斜率的關(guān)系的等式，同時再利用斜率的另一種表示形式，就如中點與點D再得到斜率的一個等式，消去相應(yīng)的k從而可得一個關(guān)于中點x,y的一個等式.即為所求的中點的軌跡方程.
試題解析：(1)依題意可得，當(dāng)令動圓半徑為r時，有，易得.由橢圓的定義可知，點P的軌跡是以C（-1,0）、D（1,0）為焦點的橢圓.令橢圓方程為.所以點P的軌跡方程為.
（2）過點D斜率為2的直線方程為：由，消去y得到.所以.
(3)據(jù)點差法結(jié)果可知
若令M坐標(biāo)為（x,y）,則有 ，化簡可得：

考點：1.橢圓的定義.2.橢圓的中的弦長公式.3.點差法的應(yīng)用.4.方程的思想.5.數(shù)學(xué)中常見的算兩次的思想.