Question

已知b＞，c＞0，函數的圖像與函數的圖像相切．

（Ⅰ）設，求；

（Ⅱ）設(其中x＞)在上是增函數，求c的最小值；

（Ⅲ）是否存在常數c，使得函數在內有極值點？若存在，求出c的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）【方法一】由， 依題設可知，． ∵b＞，c＞0， ∴，即． 【方法二】依題設可知，即， ∴為切點橫坐標， 于是，化簡得． 同法一得． （Ⅱ）依題設， ∴． ∵在上是增函數， ∴≥0在上恒成立， 又x＞，c＞0，∴上式等價于≥0在上恒成立， 即≤，而由（Ⅰ）可知≤， ∴≥． 又函數在上的最大值為2， ∴≥2，解得c≥4，即c的最小值為4． （Ⅲ）由， 可得． 令，依題設欲使函數在內有極值點， 則須滿足＞0， 亦即＞0，解得＜或＞， 又c＞0，∴0＜c＜或c＞． 故存在常數，使得函數在內有極值點．（注：若△≥0，則應扣1分．）