Question

點P為直線x+2y-1=0上的一個動點，F₁、F₂為雙曲線

x2

4

-

y2

5

=1的左、右焦點，則

PF1

•

PF2

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：根據直線x+2y-1=0設點P（1-2y，y），根據橢圓的方程得 F₁（-3，0）、F₂（3，0），化簡

PF1

•

PF2

為5y²-4y-8，利用二次函數的性質求出它的最小值．

解答：解：設點P（1-2y，y），∵F₁、F₂為雙曲線

x2

4

-

y2

5

=1的左、右焦點，
∴F₁（-3，0）、F₂（3，0）．
∴

PF1

•

PF2

=（2y-4，-y）•（2y+2，-y）=5y²-4y-8，
故當y=

2

5

時，

PF1

•

PF2

有最小值為

-44

5

．
故答案為：

-44

5

．

點評：本題主要考查雙曲線的標準方程以及簡單性質，兩個向量的數量積公式及二次函數的性質的應用，把要求的式子化為5y²-4y-8，是解題的關鍵，屬于中檔題．