Question

（本小題滿分12分）

在如圖所示的四棱錐中，已知 PA⊥平面ABCD， ， ，，

為的中點．

（1）求證：MC∥平面PAD；

（2）求直線MC與平面PAC所成角的余弦值；

（3）求二面角的平面角的正切值．

 

Answer 1

【答案】

(1)根據中位線性質，得到EM//AB,且EM= AB. 又因為，且，所以EM//DC，且EM=DC ∴四邊形DCME為平行四邊形, 則MC∥DE，

(2)(3)

【解析】

試題分析：（1 ）如圖，取PA的中點E，連接ME，DE，∵M為PB的中點，

∴EM//AB,且EM= AB. 又∵，且，

∴EM//DC，且EM=DC ∴四邊形DCME為平行四邊形,

則MC∥DE，又平面PAD, 平面PAD

所以MC∥平面PAD

（2）取PC中點N，則MN∥BC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC ，

又,∴BC⊥平面PAC，

則MN⊥平面PAC所以，為直線MC與平面PAC所成角，

（3）取AB的中點H，連接CH，則由題意得

又PA⊥平面ABCD，所以，則平面PAB.

所以,過H作于G,連接CG，則平面CGH,所以

則為二面角的平面角.

則，

故二面角的平面角的正切值為

考點：本試題考查了線面角和二面角的求解運用。

點評：解決該試題的關鍵是能利用線面角和二面角的定義，準確的表示角，借助于三角形的知識來求解得到，也可以建立空間直角坐標系來運用空間向量法來得到求解，屬于中檔題。