Question

設f(x)=ax³+bx²+cx，其導函數y=f′(x)的圖像經過點(-2，0)，(，0)，且f(x)在x=-2時取得極小值-8．

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)若對x∈[-3，3]都有f(x)≥m²-14m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：(1)∵f′(x)=3ax²+2bx+c,

且y=f′(x)的圖像經過點(-2，0)，(，0)，

∴，

∴f(x)=ax³+2 ax²-4ax，

由f(x)_極小值=f(-2)=a(-2)³+2a(-2)²-4a(-2)=-8，解得a=-1

∴f(x)=-x³-2x²+4，

(Ⅱ)要使對x∈[-3，3]都有f(x)≥m²-14m恒成立，

只需f(x)_min≥m²-14m即可．

∵f′(x)=-3x²-4x+4=-2(x-)(x+2)

∴函數y=f(x)在[-3，-2)上單調遞減，在(-2，)上單調遞增，在(，3)上單調遞減，

又∵f(-2)=-8，

f(3)=-3³-2×3²+4×3=-33＜-8，

∴f(x)_min=f(3)=-33

-33≥m²-14m3≤m≤11

故所求的實數m的取值范圍為{m|3≤m≤11}．