Question

已知函數f(x)=-x³+3x²+9x+a.

(1)求f(x)的單調遞減區間；

(2)若f(x)在區間［-2,2］上的最大值為20，求它在該區間上的最小值.

Answer 1

思路點撥：本題根據函數的單調性與其導函數的值的符號間的關系，確定其單調區間；再利用其導函數求出其極值，進而求得最值.

解：(1)f′(x)=-3x²+6x+9，

    令f′(x)＜0，解得x＜-1或x＞3，所以函數f(x)的單調遞減區間為(-∞,-1)、(3,+∞).

(2)因為f(-2)=2+a，f(2)=22+a，所以f(2)＞f(-2).又因為在（－1，3）上f′(x)＞0，所以f(x)在［-1,2］上單調遞增.又由于f(x)在［-2,-1］上單調遞減，因此f(2)和f(-1)分別是f(x)在區間［-2,2］上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=-2.

    故f(x)=-x³+3x²+9x-2，因此f(-1)=-7，即函數f(x)在區間［-2,2］上的最小值為－7.

[一通百通]有關求函數的單調區間問題，除了利用增減函數的定義之外，還可以考慮利用相關函數的導數來判斷；對于求函數的最值問題，除了以往的方法外還可以考慮利用導數來求得結果.