Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱長(zhǎng)都為a，P為線段A₁B上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）試確定A₁P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）若A₁P：PB=2：3，求二面角P-AC-B的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)

PC⊥AB

時(shí)，作P在AB射影D，連結(jié)CD．AB⊥面PCD，AB⊥CD．D是AB中點(diǎn)．PD∥AA₁，P也是A₁B中點(diǎn)．所以A₁P：PB=1．
（Ⅱ）作P在AB上的射影D．則PD底面ABC．作D在AC上的射影E，連結(jié)PE，則PE⊥AC．∠DEP為二面角P-AC-B的平面角．

解答：（Ⅰ）當(dāng)

PC⊥AB

時(shí)，作P在AB射影D，連結(jié)CD．AB⊥面PCD，
∴AB⊥CD．D是AB中點(diǎn)．
∵PD∥AA₁，所以P也是A₁B中點(diǎn)．所以A₁P：PB=1．
（Ⅱ）若A₁P：PB=2：3時(shí)，作P在AB上的射影D．則PD底面ABC．
作D在AC上的射影E，連結(jié)PE，則PE⊥AC．
∴∠DEP為二面角P-AC-B的平面角．
又∵PD∥AA₁，∴

BD

DA

=

BP

PA1

=

3

2

，∴AD=

2

5

a．∴DE=ADsin60°=

3 a

5

又∵

PD

AA1

=

3

5

，∴PD=

3

5

a．
∴tan∠DEP=

PD

DE

=

3

，
∴二面角P-AC-B的大小為60°

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷，空間角求解，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力