Question

為了加快縣域經濟的發展，某縣選擇兩鄉鎮作為龍頭帶動周邊鄉鎮的發展，決定在這兩個鎮的周邊修建環形高速公路，假設一個單位距離為10km，兩鎮的中心A、B相距8個單位距離，環形高速公路所在的曲線為E，且E上的點到A、B的距離之和為10個單位距離，在曲線E上建一個加油站M與一個收費站N，使M、N、B三點在一條直線上，并且AM+AN=12個單位距離．
（1） 建立如圖的直角坐標系，求曲線E的方程及M、N之間的距離有多少個單位距離；
（2）A、B之間有一條筆直公路Z與AB所在直線成45°，且與曲線E交于P，Q兩點，該縣招商部門引進外資在四邊形PAQB區域開發旅游業，試問最大的開發區域是多少？（平方單位距離）

Answer 1

分析：（1）以AB為x軸，以A中點為原點O建立直角坐標系，設曲線上的點P（x，y），|PA|+|PB|=10＞|AB|=8，動點軌跡為橢圓，且a=5，由此能夠求出曲線E的方程．再由|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20，|AM|+|AN|=12，能夠求出|MN|．
（2）將y=x+t代入

x2

25

+

y2

9

=1，得34y²-18ty+9t²-25×9=0，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），再由根與系數的關系進行求解．

解答：解：（1）以AB為x軸，以A中點為原點O建立直角坐標系，設曲線上的點P（x，y），
∵|PA|+|PB|=10＞|AB|=8，
∴動點軌跡為橢圓，且a=5，c=4，b=3，
∴曲線E的方程是

x2

25

+

y2

9

=1．
由|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20，|AM|+|AN|=12，
∴|MN|=8．
（2）將y=x+t代入

x2

25

+

y2

9

=1，得34y²-18ty+9t²-25×9=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y1+y2=

9t

17

，y1y2=

9t2-25×9

34

，
|y₁-y₂|=

(y1+y2) 2-4y1y2

=

1

17

50×9×17-9×25t2

．
S=S△ABP+S△ABQ=

1

2

AB•|y1-y2|
=

8

34

50×9×17-9×25t2

．
∴當t=0時，面積最大是

60

17

34

，此是直線為l：y=x．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理選用