Question

已知橢圓的兩個焦點分別是，離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）一條不與坐標軸平行的直線l與橢圓交于不同的兩點M，N，且線段MN中點的橫坐標為，求直線l的傾斜角的范圍．

Answer 1

解：（1）依題意可知求得a=3，b=1
∴橢圓的方程為：=1
（2）直線l不與坐標軸平行，設為y=kx+b（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
聯立方程：則（9+k²）x²+2kbx+b²-9=0
△=（2kb）²-4（9+k²）（b²-9）＞0，k²-b²+9＞0
x₁+x₂=-，x₁x₂=
MN的中點的橫坐標=（x₁+x₂）=-
所以x₁+x₂=-1
所以9+k²=2kb＞b²
（k-b）²=b²-9≥0，b²≥9
b≥3或b≤-3
b（b-2k）＜0
所以b≥3＞0時，b-2k＜0，k＞≥
b≤-3＜0時，b-2k＞0，k＜≤-
所以k的取值范圍為（-∞，-）∪（，+∞）
直線l的傾斜角的取值范圍為：（arctan，）∪（，π-arctan）
分析：（1）根據焦距，求得a和b的關系，利用離心率求得a和b的另一公式聯立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）設出直線l的方程，與橢圓的方程聯立消去y，利用判別式大于0大于k和b的不等式關系，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，根據MN的中點的橫坐標求得k和b的關系，進而求得b的范圍，分別看b≥3和b≤-3兩種情況，求得k的范圍，則直線的傾斜角的范圍可得．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系．研究直線與圓錐曲線位置關系的問題，通常有兩種方法：一是轉化為研究方程組的解的問題，利用直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個變量后，將交點問題（包括公共點個數、與交點坐標有關的問題）轉化為一元二次方程根的問題，結合根與系數的關系及判別式解決問題；二是運用數形結合，迅速判斷某些直線和圓錐曲線的位置關系．