Question

設函數．
（1）求f（x）的單調區間和極值；
（2）是否存在實數a，使得關于x的不等式f（x）≥a的解集為（0，+∞）？若存在，求a的取值范圍；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區間，討論滿足fˊ（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值點，求出極值．
（2）對a進行討論，當a≤0時，f（x）＞0恒成立，關于x的不等式f（x）≥a的解集為（0，+∞）符合題意．當a＞0時，關于x的不等式f（x）≥a的解集不是（0，+∞）．
解答：解：（Ⅰ）．（2分）
故當x∈（0，1）時，f'（x）＞0，x∈（1，+∞）時，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）單調遞增，在（1，+∞）單調遞減．（4分）
由此知f（x）在（0，+∞）的極大值為f（1）=ln2，沒有極小值．（6分）
（Ⅱ）（ⅰ）當a≤0時，
由于，
故關于x的不等式f（x）≥a的解集為（0，+∞）．（10分）
（ⅱ）當a＞0時，由知，其中n為正整數，且有．（12分）
又n≥2時，．
且．
取整數n滿足，，且n≥2，
則，
即當a＞0時，關于x的不等式f（x）≥a的解集不是（0，+∞）．
綜合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a，使得關于x的不等式f（x）≥a的解集為（0，+∞），且a的取值范圍為（-∞，0]．
點評：本小題主要考查函數的導數，單調性，極值，不等式等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．