Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣alnx，（a∈R）．
（1）討論函數f（x）在定義域內的極值點的個數；
（2）設g（x）=﹣ ，若不等式f（x）＞g（x）對任意x∈[1，e]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x﹣alnx，（x＞0），

f′（x）=1﹣ = ，

①a≤0時，f′（x）＞0，f（x）遞增，f（x）無極值；

②a＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，

∴f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增，

f（x）有1個極小值點；

（2）解：若不等式f（x）＞g（x）對任意x∈[1，e]恒成立，

令h（x）=f（x）﹣g（x），即h（x）最小值＞0在[1，e]恒成立，

則h（x）=x﹣alnx+ （a∈R），

∴h′（x）=1﹣ ﹣ = ，

①當1+a≤0，即a≤﹣1時，在[1，e]上為增函數，f（x）min=f（1）=1+1+a＞0，

解得：a＞﹣2，即﹣2＜a≤﹣1，

當a＞﹣1時

①當1+a≥e時，即a≥e﹣1時，f（x）在[1，e]上單調遞減，

∴f（x）min=f（e）=e+ ﹣a＞0，解得a＜ ，

∵ ＞e﹣1，

∴e﹣1≤a＜ ；

②當0＜1+a≤1，即﹣1＜a≤0，f（x）在[1，e]上單調遞增，

∴f（x）min=f（1）=1+1+a＞0，

解得a＞﹣2，故﹣2＜a＜﹣1；

③當1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1時，f（x）min=f（1+a），

∵0＜ln（1+a）＜1，

∴0＜aln（1+a）＜a，

∴f（1+a）=a+2﹣aln（1+a）＞2，此時f（1+a）＞0成立，

綜上，﹣2＜a＜ 時，不等式f（x）＞g（x）對任意x∈[1，e]恒成立

【解析】（1）先求導，再分類討論，得到函數的單調區間，從而求出函數的極值點的個數；（2）由題意，只要求出函數f（x）min＞0即可，利用導數和函數的最值的關系，進行分類討論，即可得到a的范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)，還要掌握函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關知識才是答題的關鍵．