Question

【題目】如圖，三棱錐中，平面平面，，且.

（1）求證：；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取的中點，連接.根據，得 ，再由，根據線面垂直的判定定理得平面，則，再利用三線合一證明.

（2）由三條直線兩兩垂直，建立空間直角坐標系，分別求得平面和平面的一個法向量，再利用二面角的向量法公式求解.

（1）取的中點，連接.

，，

平面，

平面，

又OC平面，，

而是的中點，.

（2）平面平面，平面，

平面平面，

平面，

再由（1）可知三條直線兩兩垂直.

以所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.

由條件可得，.

則，

，，.

設平面的一個法向量為，

由可得

，

令，則.

同理可得平面的一個法向量為，

則.

由圖易知，二面角為銳角，

二面角的余弦值為.