Question

已知實數x，y滿足

2x-y≤0 x+y-5≥0 y-4≤0

，若不等式a（x²+y²）≥（x+y）²對于滿足上述條件的實數x，y恒成立，則實數a的最小值為（　　）

• A．

  7

  5

• B．

  9

  5

• C．2
• D．

  5

  2

Answer 1

分析：確定約束條件的平面區域，求得與原點連線的斜率的范圍，再分離參數，利用函數的單調性，確定函數的最值，即可得到結論．

解答：解：實數x，y滿足

2x-y≤0 x+y-5≥0 y-4≤0

，可行域是一個三角形，三角形的三個頂點分別為（1，4），（2，4），（

5

3

，

10

3

），與原點連線的斜率分別為4，2，∴

y

x

∈[2，4]
不等式a（x²+y²）≥（x+y）²等價于a≥1+

2

y x + x y

∵

y

x

+

x

y

在[2，4]上單調增
∴

5

2

≤

y

x

+

x

y

≤

17

4

∴

8

17

≤

2

y x + x y

≤

4

5

∴a≥

9

5

故選B．

點評：平面區域的最值問題是線性規劃問題中一類重要題型，在解題時，關鍵是正確地畫出平面區域，分析表達式的幾何意義，然后結合數形結合的思想，分析圖形，找出滿足條件的點的坐標，即可求出答案．