Question

已知直線l：y=x+1與橢圓3x²+y²=2相交于A，B兩點，O為坐標原點，
（1）求證：OA⊥OB；
（2）如果直線l向下平移1個單位得到直線m，試求橢圓截直線m所得線段的長度．

Answer 1

分析：（1）由

y=x+1 3x 2+y2=2

解得A(

-1+ 5

4

，

3+ 5

4

)，B(

-1- 5

4

，

3- 5

4

)．由此能夠證明OA⊥OB．
（2）直線l向下平移1個單位得到直線m：y=x，聯立得到

y=x 3x2+y2=2

解得  

x= 2 2 y= 2 2

或

x=- 2 2 y=- 2 2

，由此能求出截得的線段長．

解答：解：（1）證明：直線l：y=x+1與橢圓3x²+y²=2相交于A，B兩點，
得

y=x+1 3x 2+y2=2

，
消去y得4x²+2x-1=0，
解得x1=

-1+ 5

4

，x2=

-1- 5

4

，
所以A(

-1+ 5

4

，

3+ 5

4

)，B(

-1- 5

4

，

3- 5

4

)．
所以

OA

•

OB

=(

-1+ 5

4

，

3+ 5

4

)(

-1- 5

4

，

3- 5

4

)=0
∴

OA

⊥

OB

，
∴OA⊥OB．
（2）直線l向下平移1個單位得到直線m：y=x，
聯立得到

y=x 3x2+y2=2

，
解得

x= 2 2 y= 2 2

或

x=- 2 2 y=- 2 2

，
所以截得的線段長為2．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．