Question

【題目】設函數，，.

（1）求函數的單調區間；

（2）若函數有兩個零點，().

（i）求的取值范圍；

（ii）求證:隨著的增大而增大.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（i）（ii）證明見解析

【解析】

（1）求出導函數，分類討論即可求解；

（2）（i）結合（1）的單調性分析函數有兩個零點求解參數取值范圍；（ii）設，通過轉化，討論函數的單調性得證.

（1）因為，所以

當時，在上恒成立，所以在上單調遞增，

當時，的解集為，的解集為，

所以的單調增區間為，的單調減區間為；

（2）（i）由（1）可知，當時，在上單調遞增，至多一個零點，不符題意，當時，因為有兩個零點，所以，解得，因為，且，所以存在，使得，又因為，設，則，所以單調遞增，所以，即，因為，所以存在，使得，綜上，；（ii）因為，所以，因為，所以，設，則，所以，解得，所以，所以，設，則，設，則，所以單調遞增，所以，所以，即，所以單調遞增，即隨著的增大而增大，所以隨著的增大而增大，命題得證.