拋物線
在點
，
處的切線垂直相交于點
，直線
與橢圓
相交于
，
兩點．
（1）求拋物線
的焦點
與橢圓
的左焦點
的距離；
（2）設點到直線的距離為
，試問：是否存在直線，使得
，，
成等比數列？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由．
（1）
;（2）不存在.
解析試題分析：（1）分別求出拋物線與橢圓的焦點，利用兩點間距離公式求解；（2）設直線
與拋物線相交于
與橢圓相交于
,
,所以直線與拋物線方程聯立，得到
和
然后利用
,求出切線
，
的斜率，利用切線垂直，
,解出m,然后分別設出過
點的切線方程，求出交點
的坐標，利用點到直線的距離公式求,直線與曲線相交的弦長公式求
,若
，，
成等比數列，則
,化簡等式，通過
看方程實根情況.
試題解析：（I）拋物線
的焦點
， 1分
橢圓
的左焦點
， 2分
則
． 3分
（II）設直線，
，
，
，
，
由
，得
， 4分
故
，
．
由
，得
，
故切線，的斜率分別為
，
，
再由
，得
，
即
，
故
，這說明直線
過拋物線的焦點
． 7分
由
，得
，
,即
． 8分
于是點到直線
的距離
. 9分
由
，得
， 10分
從而
， 11分
同理，
． 12分
若，，成等比數列，則， 13分
即
，
化簡整理，得
，此方程無實根，
所以不存在直線，使得，，
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知△
的兩個頂點
的坐標分別是
，
，且
所在直線的斜率之積等于
．
（1）求頂點
的軌跡
的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；
（2）當
時，過點
的直線
交曲線
于
兩點，設點
關于
軸的對稱點為
(
不重合)， 試問：直線
與
軸的交點是否是定點？若是，求出定點，若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖,
是橢圓
的左、右頂點,橢圓
的離心率為
,右準線
的方程為
.
（1）求橢圓方程；
（2）設
是橢圓上異于的一點,直線
交于點
,以
為直徑的圓記為
. ①若恰好是橢圓的上頂點,求
截直線
所得的弦長；
②設與直線
交于點
,試證明:直線
與
軸的交點
為定點,并求該定點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知動直線
與橢圓
交于
、
兩不同點，且△
的面積
=
，其中
為坐標原點.
（1）證明
和
均為定值；
（2）設線段
的中點為
，求
的最大值；
（3）橢圓
上是否存在點
，使得
？若存在，判斷△
的形狀；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（1）已知點
和
，過點
的直線
與過點
的直線
相交于點
，設直線的斜率為
，直線的斜率為
，如果
，求點的軌跡；
（2）用正弦定理證明三角形外角平分線定理：如果在
中，
的外角平分線
與邊
的延長線相交于點
，則
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的左、右焦點分別為
、
，橢圓上的點
滿足
，且
的面積
．
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）是否存在直線
，使與橢圓交于不同的兩點
、
，且線段
恰被直線
平分？若存在，求出的斜率取值范圍；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知圓
過定點
，圓心在拋物線
上，
、
為圓與
軸的交點．
（1）當圓心是拋物線的頂點時，求拋物線準線被該圓截得的弦長．
（2）當圓心在拋物線上運動時，
是否為一定值？請證明你的結論．
（3）當圓心在拋物線上運動時，記
，
，求
的最大值，并求出此時圓的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設F1，F2分別是橢圓E：x2＋
＝1(0<b<1)的左、右焦點，過F1的直線l與E相交于A，B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數列．
(1)求|AB|；
(2)若直線l的斜率為1，求b的值．
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的橢圓
一個焦點為
.
的方程；
交橢圓
兩點,且
，求直線