Question

已知A、B、C是銳角，求證：cosA+cosB+cosC=1+4sin

A

2

sin

B

2

sin

C

2

的充要條件是A+B+C=π．

Answer 1

分析：由題意，等式左邊是和的形式，右邊是乘積形式，故左邊用和差化積公式，右邊用積化和差公式，兩邊出現共同角

A+B

2

和

A-B

2

，
再提取公因式即可．

解答：解：cosA+cosB+cosC=1+4sin

A

2

sin

B

2

sin

C

2

?2cos

A+B

2

cos

A-B

2

=2sin2

C

2

+2sin

C

2

(-cos

A+B

2

+cos

A-B

2

)
?cos

A+B

2

cos

A-B

2

=sin2

C

2

-sin

C

2

cos

A+B

2

+sin

C

2

cos

A-B

2

?0=sin

C

2

(sin

C

2

-cos

A+B

2

)+(sin

C

2

-cos

A+B

2

)cos

A-B

2

?0=(sin

C

2

-cos

A+B

2

)(sin

C

2

+cos

A-B

2

)
∵A、B、C是銳角，∴sin

C

2

+cos

A-B

2

＞0
所以上式?0=sin

C

2

-cos

A+B

2

?

C

2

+

A+B

2

=

π

2

?A+B+C=π

點評：本題考查三角恒等變形：和差化積、積化和差公式、二倍角公式、誘導公式等，考查對公式的綜合運用能力．