Question

數列{a_n}滿足a₁=1且8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0（n≥1）．記．
（Ⅰ）求b₁、b₂、b₃、b₄的值；
（Ⅱ）求數列{b_n}的通項公式及數列{a_nb_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：法一：
（I）a₁=1，故；，
故；，
故；，
故．

（II）因，
故猜想是首項為，公比q=2的等比數列．
因a_n≠2，（否則將a_n=2代入遞推公式會導致矛盾）故．
因，

故確是公比為q=2的等比數列．
因，故，，
由得，
故S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n===

法二：
（Ⅰ）由得，代入遞推關系8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0，
整理得，即，
由a₁=1，有b₁=2，所以．

（Ⅱ）由，
所以是首項為，公比q=2的等比數列，
故，即．
由，得，
故S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n===．

法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）猜想{b_n+1-b_n}是首項為，
公比q=2的等比數列，
又因a_n≠2，故．
因此=
；
=．
因是公比q=2的等比數列，，
從而b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=
=
=．
由得，
故S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n===．
分析：（法一）（I）由a₁結合遞推公式可求a₂，a₃，a₄，代入求b₁，b₂，b₃，b₄
（II）先由（I）中求出的b₁，b₂，b₃，b₄的值，觀察規律可猜想數列為等比數列，進而可求b_n，結合?，從而猜想得以證明，代入求出a_n•b_n，進而求出前n和s_n
（法二）（I）代入遞推公式可得，代入可求b₁，b₂，b₃，b₄
（II）利用（I）中的遞推關系個構造數列為等比數列，從而可求b_n，s_n
（法三）（I）同法一
（II）先由（I）中求出的b₁，b₂，b₃，b₄的值，觀察規律可猜想數列b_n+1-b_n為等比數列，仿照法一再證明猜想，根據求通項的方法求b_n，進一步求s_n
點評：本題考查了數列的綜合運用：遞推關系的運用，構造等比求數列通項，累加求通項，歸納推理的運用，綜合考查了考生的推理運算能力．