Question

已知函數f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x．
（1）求函數M(x)=

f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|

2

的最大值；
（2）如果對f（x²）f（

x

）＞kg（x）中的任意x∈[1，4]，不等式恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

（1）f（x）-g（x）=3（1-log₂x），
當x＞2時，f（x）＜g（x）；當0＜x≤2時，f（x）≥g（x），
∴M（x）=

3-2log2x，x＞2 log2x，0＜x≤2

當0＜x≤2時，M（x）的最大值為1；當x＞2時，M（x）＜1．
綜上：當x=2時，M（x）取到最大值為1．
（2）由f（x²）f（

x

）＞kg（x）得：（3-4log₂x）（3-log₂x）＞k•log₂x，
令t=log₂x，∵x∈[1，4]，∴t∈[0，2]，
∴（3-4t）（3-t）＞kt對一切t∈[0，2]恒成立．
①當t=0時，k∈R；
②當t∈（0，2]時，k＜

(3-4t)(3-t)

t

恒成立，即k＜4t+

9

t

-15，
∵4t+

9

t

≥12，當且僅當4t=

9

t

，即t=

3

2

時取等號．
∴4t+

9

t

-15的最小值為-3，∴k＜-3．
綜上k的取值范圍是k＜-3．