Question

設Tn=(1-

1

4

)(1-

1

9

)(1-

1

16

)…(1-

1

n2

)(n≥2)．
（Ⅰ）求T₂，T₃，T₄，試用n（n≥2）表示T_n的值．
（Ⅱ）用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）代入計算，可得T₂，T₃，T₄，從而猜想T_n的值．
（Ⅱ）利用數學歸納法的證題步驟，即可證得結論．

解答：（Ⅰ）解：T2=1-

1

4

=

3

4

，T3=(1-

1

4

)(1-

1

9

)=

4

6

，T4=(1-

1

4

)(1-

1

9

)(1-

1

16

)=

5

8

，…6分
猜想Tn=

n+1

2n

…8分
（Ⅱ）證明：（1）當n=2時由（Ⅰ）可知成立   …10分
（2）假設n=k時結論成立，即Tk=(1-

1

4

)(1-

1

9

)(1-

1

16

)…(1-

1

k2

)=

k+1

2k

，
那么，當n=k+1時，Tk+1=Tk(1-

1

(k+1)2

)=

k+1

2k

•

k2+k

(k+1)2

=

(k+1)+1

2(k+1)

，…14分
所以當n=k+1時，命題也成立．
根據（1）（2）可知結論當n≥2，n∈N^•時都成立．  …16分．

點評：本題考查數學歸納法，考查學生分析解決問題軛能力，屬于中檔題．