Question

設φ∈(0，

π

4

)，函數f（x）=sin²（x+φ），且f(

π

4

)=

3

4

．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值及相應的x值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把f(

π

4

)=

3

4

代入f（x）=sin²（x+φ），化簡為sin2φ=

1

2

，根據φ∈(0，

π

4

)，直接求出φ的值；
（Ⅱ）化簡函數的表達式為一個角的一個三角函數的形式，利用x∈[0，

π

2

]，求出相位的范圍，即可求f（x）的最大值及相應的x值．

解答：（Ⅰ）解：∵f(

π

4

)=sin2(

π

4

+φ)=

1

2

[1-cos(

π

2

+2φ)]=

1

2

(1+sin2φ)=

3

4

，∴sin2φ=

1

2

（4分）
∵φ∈(0，

π

4

)，∴2φ∈(0，

π

2

)，∴2φ=

π

6

，φ=

π

12

．（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得f(x)=sin2(x+

π

12

)=-

1

2

cos(2x+

π

6

)+

1

2

（8分）
∵0≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

（9分）
當2x+

π

6

=π，即x=

5π

12

時，cos(2x+

π

6

)取得最小值-1（11分）
∴f（x）在[0，

π

2

]上的最大值為1，此時x=

5π

12

（12分）

點評：本題是中檔題，高考常考題，考查二倍角公式的應用，三角函數的最值等有關知識，整體思想的應用，掌握基本函數的基本性質是解好數學問題的前提，體現學生的數學解題素養．