Question

已知集合具有性質P：對任意i，j（1≤i≤j≤n），a_i+a_j與a_j-a_i至少一個屬于A．
（1）分別判斷集合M={0，2，4}與N={1，2，3}是否具有性質P，并說明理由；
（2）研究當n=3，4和5時，具有性質P的集合A中的數列{a_n}是否一定成等差數列．

Answer 1

解：（1）集合M={0，2，4}具有性質P，N={1，2，3}不具有性質P．
∵集合M={0，2，4}中，a_j+a_i與a_j-a_i（1≤i≤j≤2）兩數中都是該數列中的項，4-2是該數列中的項，∴集合M={0，2，4}具有性質P；
N={1，2，3}中，3在此集合中，則由題意得3+3和3-3至少一個一定在，而3+3=6不在，所以3-3=0一定是這個集合的元素，而此集合沒有0，故不具有性質P；
（2）若數列A具有性質P，則a_n+a_n=2a_n與a_n-a_n=0兩數中至少有一個是該數列中的一項，
∵0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3，而2a_n不是該數列中的項，∴0是該數列中的項，
∴a₁=0；
n=3時，∵數列a₁，a₂，a₃具有性質P，0≤a₁＜a₂＜a₃
∴a₂+a₃與a₃-a₂至少有一個是該數列中的一項，
∵a₁=0，a₂+a₃不是該數列的項，∴a₃-a₂=a₂，∴a₁+a₃=2a₂，數列{a_n}一定成等差數列；
n=4時，∵數列a₁，a₂，a₃，a₄具有性質P，0≤a₁＜a₂＜a₃＜a₄，
∴a₃+a₄與a₄-a₃至少有一個是該數列中的一項，
∵a₃+a₄不是該數列的項，∴a₄-a₃=a₂，或a₄-a₃=a₃，
若a₄-a₃=a₂，則數列{a_n}一定成等差數列；若a₄-a₃=a₃，則數列{a_n}不一定成等差數列；
n=5時，∵數列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅有性質P，0≤a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，
∴a₄+a₅與a₅-a₄至少有一個是該數列中的一項，
∵a₄+a₅不是該數列的項，∴a₅-a₄=a₂，或a₅-a₄=a₃，或a₅-a₄=a₄，
若a₅-a₄=a₄，a₄-a₃=a₂，則數列{a_n}一定成等差數列；若a₅-a₄=a₂，或a₅-a₄=a₃，則數列{a_n}不一定成等差數列．
分析：（1）利用新定義，可以判斷集合M={0，2，4}具有性質P，N={1，2，3}不具有性質P；
（2）確定a₁=0，再利用新定義，即可判斷具有性質P的集合A中的數列{a_n}是否一定成等差數列．
點評：本題考查數列的綜合應用，考查學生的應用知識分析、解決問題的能力，屬于難題．