Question

如圖，已知橢圓的左、右頂點分別為A、B，右焦點為F，直線l為橢圓的右準線，N為l上一動點，且在x軸上方，直線AN與橢圓交于點M．
（1）若AM=MN，求∠AMB的余弦值；
（2）設過A，F，N三點的圓與y軸交于P，Q兩點，當線段PQ的中點坐標為（0，9）時，求這個圓的方程．

Answer 1

解：（1）由已知，A（﹣4，0），B（4，0），F（2，0），
直線l的方程為x=8．
設N（8，t）（t＞0），
因為AM=MN，所以M（2，）．
由M在橢圓上，得t=6．
故所求的點M的坐標為M（2，3）．
所以，．
．
（2）設圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，將A，F，N三點坐標代入，得

∵圓方程為，
令x=0，得．
設P（0，y₁），Q（0，y₂），則
．
由線段PQ的中點坐標為（0，9），得
y₁+y₂=18，．
此時所求圓的方程為x²+y²+2x﹣18y﹣8=0．