Question

已知圓C過點A（0，a）（a＞0），且在x軸上截得的弦MN的長為2a．
（1）求圓C的圓心的軌跡方程；
（2）若∠MAN=45°，求圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）設圓C的圓心為C（x，y），圓的半徑 r=

x2+(y-a)2

，由圓C在x軸上截得的弦MN的長為2a．可得|y|²+a²=r²，整理可求
（2）由∠MAN=45°可得∠MCN=90°，由（1）可知圓C的圓心為（x₀，y₀），則有x₀²=2ay₀（結合y0=

1

2

|MN|=a可求x₀，r，從而可求圓C的方程

解答：解：（1）設圓C的圓心為C（x，y），
依題意圓的半徑   r=

x2+(y-a)2

…（2分）
∵圓C在x軸上截得的弦MN的長為2a．
∴|y|²+a²=r²
故  x²+（y-a）²=|y|²+a²…（4分）
∴x²=2ay
∴圓C的圓心的軌跡方程為x²=2ay…（6分）
（2）∵∠MAN=45°（3），∴∠MCN=90°（4）…（9分）
令圓C的圓心為（x₀，y₀），則有x₀²=2ay₀（y₀≥0），…（10分）
又∵y0=

1

2

|MN|=a…（11分）
∴x0=±

2

a…（12分）
∴r=

x 2 0 +(y0-a)2

=

2

a…（13分）
∴圓C的方程為  (x±

2

a)2+(y-a)2=2a2…（14分）

點評：本題主要考查了利用圓的性質求解點的軌跡方程及圓的方程的求解，解題的關鍵是熟練 掌握圓的基本性質