Question

1．若函數f（x）=e^x（sinx+acosx）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上單調遞增，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，1]
• C． [-2，1）
• D． （-2，1]

Answer 1

分析 f（x）=e^x（sinx+acosx）在$（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}，}）$上單調遞增，求導，分離參數，構造函數，利用導數求出函數的最值即可．

解答 解：∵f（x）=e^x（sinx+acosx）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上單調遞增，
∴f′（x）=e^x[（1-a）sinx+（1+a）cosx]≥0在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
∵e^x＞0在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
∴（1-a）sinx+（1+a）cosx≥0在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
∴a（sinx-cosx）≤sinx+cosx在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上恒成立
∴a≤$\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}$，
設g（x）=$\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}$，
∴g′（x）=$\frac{-2}{（sinx-cosx）^{2}}$＜0在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
∴g（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上單調遞減，
∴g（x）＞g（$\frac{π}{2}$）=1，
∴a≤1，
故選：B．

點評 本題考查了導數和函數的單調性和最值得關系，關鍵是分離參數，構造函數，屬于中檔題．