Question

小明參加一次智力問(wèn)答比賽，比賽共設(shè)三關(guān)．第一、二關(guān)各有兩個(gè)問(wèn)題，兩個(gè)問(wèn)題全答對(duì)，可進(jìn)入下一關(guān)．第三關(guān)有三個(gè)問(wèn)題，只要答對(duì)其中兩個(gè)問(wèn)題，則闖關(guān)成功．每過(guò)一關(guān)可一次性獲得價(jià)值分別為100、300、500元的獎(jiǎng)勵(lì)．小明對(duì)三關(guān)中每個(gè)問(wèn)題回答正確的概率依次為

4

5

、

3

4

、

2

3

，且每個(gè)問(wèn)題回答正確與否相互獨(dú)立．
（1）求小明過(guò)第一關(guān)但未過(guò)第二關(guān)的概率；
（2）用ξ表示小明所獲得獎(jiǎng)品的價(jià)值，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）由小明對(duì)三關(guān)中每個(gè)問(wèn)題回答正確的概率依次為

4

5

、

3

4

、

2

3

，且每個(gè)問(wèn)題回答正確與否相互獨(dú)立．故小明過(guò)第一關(guān)但未過(guò)第二關(guān)的概率P=(

4

5

)2•[1-(

3

4

)2]，由此能求出結(jié)果．
（2）由題設(shè)ξ=0，100，400，900，結(jié)合題設(shè)條件分別求出P（ξ=0），P（ξ=100）和P（ξ=400）的值由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）∵小明對(duì)三關(guān)中每個(gè)問(wèn)題回答正確的概率依次為

4

5

、

3

4

、

2

3

，
且每個(gè)問(wèn)題回答正確與否相互獨(dú)立．
小明過(guò)第一關(guān)但未過(guò)第二關(guān)的概率：
P=(

4

5

)2•[1-(

3

4

)2]
=

25

16

×

7

16

=

7

25

．…（5分）
（2）ξ=0，100，400，900，
P（ξ=0）=1-(

4

5

)2=

9

25

，
P（ξ=100）=

7

25

，
P（ξ=400）=(

4

5

)2•(

3

4

)3•[(

1

3

)3+

C

1 3

•

2

3

•(

1

3

)2]=

7

75

，
P（ξ=900）=(

4

5

)2•(

3

4

)2•[

C

2 3

(

2

3

)2•

1

3

+(

2

3

)3]=

4

15

，
∴ξ的分布列

ζ	0	100	400	900
P	9 25	7 25	7 75	4 15

∴Eξ=0×

9

25

+100×

7

25

+400×

7

75

+900×

4

15

=

916

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，離散型隨機(jī)變量的分布列的方差，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，考查學(xué)生探究研究問(wèn)題的能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，理解古典概型的特征．