Question

已知命題P：?x∈R，使sinx+cosx=

4

3

，命題q：

x-1

x-2

＜0的解集是{x|1＜x＜2}，下列結論：
①命題“p∧q”是真命題； 
②命題“p∧￢q”是假命題；
③命題“￢p∨q”是真命題； 
④命題“￢p∨￢q”是假命題．
其中正確的是（　　）

A．②③

B．①②④

C．①③④

D．①②③④

Answer 1

分析：根據sinx+cosx在R上的取值范圍是[-

2

，

2

]，可得命題P是真命題；根據分式不等式轉化為整式不等式，再解不等式，可得命題Q也是真命題．再結合含有邏輯連接詞“或”、“且”的命題真假判斷法則，不難得到本題的答案．

解答：解：∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）
∴sinx+cosx的最大值為

2

，最小值為-

2

而0＜

4

3

＜

2

，說明存在實數x，使得sinx+cosx=

4

3

成立，
因此，命題P是真命題；
∵

x-1

x-2

＜0等價于（x-1）（x-2）＜0，解之得1＜x＜2
∴

x-1

x-2

＜0的解集是{x|1＜x＜2}，命題Q是真命題
綜上所述，命題P、Q都是真命題，則?p和?q都是假命題
結合含有邏輯連接詞“或”、“且”的命題真假判斷法則，可得①②③④都是正確的．
故選D

點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了三角函數的值域和分式不等式的解法等知識，考查了復合命題真假的判斷法則，屬于基礎題．