Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x²上異于坐標原點O的兩不同動點A、B滿足AO⊥BO(如圖所示).

(1)求△AOB的重心G(即三角形三條中線的交點)的軌跡方程.

(2)△AOB的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

思路分析：(1)掌握三角形重心公式,會把x₁+x₂,y₁+y₂用x、y的形式來表示.

(2)利用S_△AOB=|OA|·|OB|公式以及均值定理求解.

解：(1)設△AOB的重心為G(x,y),A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，則x=          ①

    ∵OA⊥OB,∴k_OA·k_OB=-1,即x₁x₂+y₁y₂=-1.                                              ②

    又點A、B在拋物線上，有y₁=x₁²,y₂=x₂²,代入②化簡得x₁x₂=-1.

    ∴y==(x₁²+x₂²)

    =［(x₁+x₂)²-2x₁x₂］

    =×(3x)²+=3x²+.

    ∴重心G的軌跡方程為y=2x²+.

    (2)S_△OAB=|OA||OB|

    =

    =.

    由(1)得S_△AOB=

    ≥

    =

    =×2=1.

    當且僅當x₁⁶=x₂⁶,即x₁=-x₂=-1時，等號成立.

    ∴△AOB的面積存在最小值，存在時最小值為1.

講評：會正確設動點坐標G(x,y)，找x、y與x₁、x₂、y₁、y₂的關系，求軌跡方程，求面積的最小值問題經常和均值定理聯系在一起.