Question

【題目】已知拋物線，點M(m, 0)在x軸的正半軸上，過M點的直線與拋物線 C相交于A，B兩點，O為坐標原點.

(1) 若m=l，且直線的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；

(2) 是否存在定點M，使得不論直線繞點M如何轉動， 恒為定值？

Answer 1

【答案】（1）. (2)存在定點M(2, 0).

【解析】試題分析：（I）由題意得M（1，0），直線l的方程為y=x﹣1與拋物線方程聯立，利用韋達定理，可得圓心坐標與圓的半徑，從而可得圓的方程；

（II）若存在這樣的點M，使得為定值，直線l：x=ky+m與拋物線方程聯立，計算|AM|，|BM|，利用恒為定值，可求點M的坐標．

試題解析：

（1）當m=1時，M(1，0)，此時，點M為拋物線C的焦點，

直線的方程為y=x-1，設，聯立，

消去y得， ，∴， ，

∴圓心坐標為(3, 2).

又，∴圓的半徑為4，

∴圓的方程為.

(2)由題意可設直線的方程為，則直線的方程與拋物線聯立，

消去x得： ，則， ，

對任意恒為定值，

于是m=2，此時.

∴存在定點M(2, 0)，滿足題意.