Question

已知公差不為0的等差數列{a_n}的首項a₁為a（a∈R）設數列的前n項和為S_n，且，，成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式及S_n；
（Ⅱ）記A_n=+++…+，B_n=++…+，當n≥2時，試比較A_n與B_n的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出等差數列的公差，利用等比中項的性質，建立等式求得d，則數列的通項公式和前n項的和可得．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的a_n和S_n，代入不等式，利用裂項法和等比數列的求和公式整理A_n與B_n，最后對a＞0和a＜0兩種情況分情況進行比較．
解答：解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，由（）²=•，
得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），因為d≠0，所以d=a₁=a
所以a_n=na，S_n=
（Ⅱ）解：∵=（-）
∴A_n=+++…+=（1-）
∵=2^n-1a，所以==為等比數列，公比為，
B_n=++…+=•=•（1-）
當n≥2時，2ⁿ=C_n+C_n¹+…+C_nⁿ＞n+1，即1-＜1-
所以，當a＞0時，A_n＜B_n；當a＜0時，A_n＞B_n．
點評：本題主要考查了等差數列的性質．涉及了等差數列的通項公式，求和公式以及數列的求和的方法，綜合考查了基礎知識的運用．