Question

已知，函數(shù)，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
（2）是否存在實數(shù)，使曲線在點處的切線與軸垂直? 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）當時，函數(shù)在區(qū)間上無最小值；
當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；
當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．
（2） 不存在，使曲線在點處的切線與軸垂直

 （1）解：∵，∴．
令，得．
①若，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時函數(shù)無最小值．
②若，當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當時，函數(shù)取得最小值．
③若，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以當時，函數(shù)取得最小值．
綜上可知，當時，函數(shù)在區(qū)間上無最小值；
當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；
當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．
（2）解：∵，，
∴
．
由（1）可知，當時，．
此時在區(qū)間上的最小值為，即．
當，，，
∴．
曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數(shù)解．
而，即方程無實數(shù)解．
故不存在，使曲線在點處的切線與軸垂直．