Question

已知二次函數的圖象以原點為頂點且過點(1，1)，反比例函數的圖象與直線y=x的兩個交點間的距離為8，．

(1)求函數f(x)的表達式；

(2)證明：當a＞3時，關于x的方程f(x)=f(a)有三個實數解．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)由已知，設，由，得a=1， ∴． 設，它的圖象與直線y=x的交點分別為A()，B， 由|AB|=8，得k=8，∴．故． (2)證明：由f(x)=f(a)，得，即． 在同一坐標系內作出和的大致圖象如圖，其中的圖象是以坐標軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線，的圖象是以為頂點，開口向下的拋物線． 因此與的圖象在第三象限有一個交點，即f(x)=f(a)有一個負數解． 又∵，， 當a＞3時，， ∴當a＞3時，在第一象限的圖象上存在一點(2，f(2))在圖象的上方． ∴與的圖象在第一象限有兩個交點，即f(x)=f(a)有兩個正數解． 因此，方程f(x)=f(a)有三個實數解．