Question

已知拋物線y＝x²－2(m－1)x＋(m²－7)與x軸有兩個不同的交點，

(1)求m的取值范圍；

(2)若拋物線與x軸的兩個交點是A、B，且點B的坐標為(3，0)，求出A點的坐標、拋物線的對稱軸和頂點坐標．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)∵拋物線y＝x²－2(m－1)x＋(m²－7)與x軸有兩個不同的交點，∴方程y＝x²－2(m－1)x＋(m²－7)有兩個不相等實數根．

　　∴Δ＝4(m－1)²－4(m²－7)＝－8m＋32＞0．

　　∴m＜4．

　　(2)∵拋物線y＝x²－2(m－1)x＋(m²－7)經過點B(3，0)，∴9－6(m－1)＋m²－7＝0．

　　即m²－6m＋8＝0．

　　解得m＝2或m＝4．

　　由(1)知m＜4，∴m＝2．

　　∴拋物線的解析式為y＝x²－2x－3．

　　令y＝0，得x²－2x－3＝0，解之得x₁＝－1，x₂＝3，∴A點的坐標為(－1，0)．

　　又y＝x²－2x－3＝(x－1)²－4，∴頂點坐標為(1，－4)，對稱軸為直線x＝1．

　　點評：在第(2)小題中，求出m有兩個解，但由第(1)小題中m的限制條件，另一解要舍去．

提示：

　　(1)拋物線與x軸有兩個不同的交點，就是拋物線解析式對應的一元二次方程有兩個不相等的實數根，因此，由根的判別式Δ＞0，可得到m的取值范圍；

　　(2)拋物線與x軸的交點坐標為(3，0)，即對應二次函數的一個零點，由此解出m，其他問題易解．