Question

已知a₁=1，an+1=

an+4

an+1

(n∈N*)
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）判斷x_n與2的大小關系，并證明你的結論；
（3）求證：|a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_n-2|≤2-(

1

2

)n-1．

Answer 1

分析：（1）利用a₁=1，an+1=

an+4

an+1

(n∈N*)，可求a₂，a₃，a₄的值；
（2）將a_n與2作差，變形即可判斷a_n與2的大小關系；
（3）利用a_n＞0，an+1=

an+4

an+1

=1+

3

an+1

得：a_n≥1，|an+1-2| =

|an-2|

an+1

≤

1

2

|an-2|，|a_n-2|≤

1

2

|an-1-2|，以此類推可|an-2| ≤(

1

2

)n-1逐項代 入左端，即可．

解答：解：（1）由已知得a2=

5

2

，a3=

13

7

，a4=

41

20

，（3分）
（2）當n為奇數時，a_n＜2；當n為偶數時，a_n＞2（5分）
因為an-2=

an-1+4

an-1+1

-2=

2-an-1

an-1+1

，（6分）
注意到a_n＞0，所以a_n-2與a_n-1-2異號
由于a₁=1＜2，所以a₂＞2，以此類推，
當n=2k-1（k∈N^*）時，a_n＜2；
當n=2k（k∈N^*）時，x_n＞2（8分）
（3）由于a_n＞0，an+1=

an+4

an+1

=1+

3

an+1

，
∴a_n≥1（n=1，2，3，…）（9分）
又|an+1-2|=|

an-2

an+1

|=

|an-2|

an+1

≤

1

2

|an-2|（10分）
∴|a_n-2|≤

1

2

|an-1-2|≤

1

22

|an-2-2|≤…≤

1

2n-1

|a1-2|=

1

2n-1

（12分）
|∴a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_n-2|≤1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1=2-(

1

2

)n-1＜2（14分）

點評：本題考查遞推數列，關鍵是放縮法的運用，考查學生觀察與推理的能力，屬于難題．