Question

（2012•瀘州模擬）在數列{a_n}中，已知a1=1，an+1=

an

an+2

，若不等式3^m-2≥a_n對任何3^m-2≥a_n對任何n∈N^*恒成立，則實數m的取值范圍是（　　）

A．[1，+∞）

B．（0，+∞）

C．（-∞，1]

D．（1，+∞）

Answer 1

分析：由a1=1，an+1=

an

an+2

，猜想：an=

1

2n-1

．再用數學歸納法證明an=

1

2n-1

．故3^m-2≥a_n=

1

2n-1

對任何n∈N^*恒成立，等價于3m≥

1

2n-1

+2≥3對任何n∈N^*恒成立，由此能求出實數m的取值范圍．

解答：解：∵知a1=1，an+1=

an

an+2

，
∴a2=

1

1+2

=

1

3

，
a3=

1 3

1 3 +2

=

1

7

，
a4=

1 7

1 7 +2

=

1

15

，
猜想：an=

1

2n-1

．
用數學歸納法證明：
①當n=1時，a1=

1

21-1

=1成立；
②假設n=k時，成立，即ak=

1

2k-1

，
則n=k+1時，ak+1=

ak

ak+2

=

1 2k-1

1 2k-1 +2

=

1

1+2•2k-2

=

1

2k+1-1

，也成立，
故an=

1

2n-1

．
∵3^m-2≥a_n=

1

2n-1

對任何n∈N^*恒成立，
∴3m≥

1

2n-1

+2≥3對任何n∈N^*恒成立，
∴m≥1，
故選A．

點評：本題考查數列與不等式的綜合運用，解題時要認真審題，合理猜想，并用數學歸納法證明猜想．注意等價轉化思想的合理運用．