Question

在雙曲線的一支上不同的三點A（x₁，y₁）、B（，6）、C（x₂，y₂）與焦點F（0，5）的距離成等差數列．
（1）求y₁+y₂；
（2）證明線段AC的垂直平分線經過某一定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

解：（1）由題設知，A、B、C在雙曲線的同一支上，且y₁，y₂均大于0，
∴由雙曲線的焦半徑公式可知|AF|=，|BF|=，|CF|=，
∵|AF|，|BF|，|CF|成等差數列，∴，
∴y₁+y₂=12．
（2）證明：∵A，C在雙曲線上，∴，且．兩式相減得，
于是AC的垂直平分線方程為，即，
∴y=-．
∴不論為何值，直線恒過定點．
分析：（1）由雙曲線的焦半徑公式可知|AF|=，|BF|=，|CF|=，再由|AF|，|BF|，|CF|成等差數列，可求出y₁+y₂的值．
（2）借助點差法求出AC的垂直平分線方程為，由此可以得到不論為何值，直線恒過定點．
點評：本題考查雙曲線的性質及其運用，解題時要注意點差法的合理應用．